シュンカの日記

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ビジネスで活用できる統計学~ポアソン分布~

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今回はビジネスで活用できる統計学として「ポアソン分布」について紹介します。

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ビジネスシナリオ

ビジネスシナリオ
あなたは会社で、社外向けのセミナーの企画・運営担当をしています。
とあるセミナーで参加者全員に記念品を1つずつ配ることにしました。
しかし、セミナー参加者を事前に把握することができません。
上司から、記念品をいくつ用意するかを見積もるように依頼されました。

これは統計検定2級の過去問を参考にしています。(2016年11月試験:問9)
さて、このときあなたはどのように考えていきますか?
今回はこのケースを統計学を使って考えていきたいと思います。
(※平均λが20以上のポアソン分布は正規分布で近似できるものとして考える)

ポアソン分布とは

ポアソン分布とは簡単に言うと「特定の期間中にランダムに起きる事象が何回発生するか」です。
ポアソン分布の確率関数は下記のようになります。


\begin{aligned}
f(x)= \frac{e^{-λ}λ^x}{x!}
\end{aligned}

特定の単位時間あたりにランダムに起こる事象の平均λ回として、
単位時間あたりにx回発生する確率を求める関数がf(x)です。

また、ポアソン分布の平均=λ、分散=λとなります。
このポアソン分布は、特定の条件下で正規分布で近似できるので、
この特徴を使って、以下を考えてみましょう。

ケース1 記念品が不足する確率を求める

あなたはまず、セミナー参加者の過去実績を調べました。
セミナー参加者の平均は100名でした。
記念品を120個用意した場合に、記念品が不足する確率はどの程度でしょうか?

まず、X=セミナーの参加人数とします。

データが正規分布に従う場合は、このデータを標準化することで「標準正規分布表」を用いて確率を求めることができます。
Xが用意していた記念品120個よりも多くなる確率を、この方法を使って求めていきます。
まずはXを標準化(Z)していきます。

  • 標準化の式


\begin{aligned}
Z= \frac{X-平均}{\sqrt 分散}
\end{aligned}

これに、確率変数X=120、平均=100、分散=100を代入し、セミナーの参加者が用意していた記念品120個よりも多くなってしまう確率を求めます。


\begin{aligned}
Z= \frac{120-100}{\sqrt 100}
=2.0\end{aligned}

標準正規分布表より、Z=2.0のときの確率は0.0228とあるので、
記念品を120個用意した場合に記念品が不足する確率は 0.0228であることが求められました。

ケース2 いくつ記念品を用意するかを求める

記念品を120個用意した場合の不足確率は0.02であるということを上司に報告したところ、
「う~ん記念品が余っても困るなあ、予め参加者を把握しておくことはできる?できれば足りなくなる確率を0.05くらいでもう一度見積もってもらえるかな?」
とレビューを受けます。
そこで、あなたは記念品が不足するリスクを回避するために、セミナー参加者には事前に参加登録をしてもらうことになりました。
ただし、事前登録がなかった場合の参加もOKとします。
そしてこのとき事前登録は60名でした。この60名は全員セミナーに参加するものとします。
事前登録をしていないセミナー参加者が平均40名のポアソン分布に従う場合、記念品をいくつ用意すれば、不足する確率は0.05になるでしょうか?

まず、標準正規分布表より、確率が0.05程度になる値を見つけます。
今回は、Z=1.64とします。
Y=事前登録をしないセミナーの参加者とすると、Yは平均40名のポアソン分布に従います。
Yの分布は平均40、分散40の正規分布で近似できるため、確率Pについて、次の関係式が成り立ちます。


\begin{aligned}
P(Y+60\gt x)= 0.05\end{aligned}

事前登録をしないセミナーの参加者(Y)に、事前登録があったセミナーの参加者の人数(60名)を足して、必要な記念品の数(x)を計算します。
左辺の不等式をちょっと変換します。


\begin{aligned}
P(Y\gt x-60)\end{aligned}

不等式の両辺を標準化していきます。


\begin{aligned}
P(\frac{Y-40}{\sqrt 40}\gt \frac{(x-60)-40}{\sqrt 40})\end{aligned}

このxZ=1.64を満たすように計算をします。


\begin{aligned}
\frac{(x-60)-40}{\sqrt 40}
=1.64\end{aligned}


\begin{aligned}
x
=110.37\end{aligned}

記念品を110個用意しておけば、記念品が不足する確率を0.05にすることができそうだということがわかりました。

まとめ

今回はポアソン分布(とほとんど正規分布)をつかって、
統計学をビジネスで活用する例を書いてみました。
いかがでしたでしょうか?
ぜひ、みなさんも活用いただければと思います。